Eine mathematische Knobelei mit Dr. Guido Elsner von der Uni Bielefeld
88 Wege zum Haus des Nikolaus

Bielefeld -

Wer kennt es nicht, das Haus des Nikolaus? Ein Quadrat mit zwei Diagonalen, als Dach ein Dreieck. Der Knackpunkt: Es muss in einem Rutsch gezeichnet werden, ohne eine Hauskante zweimal entlangzufahren. Angeblich führen 88 Wege zum Ziel.

Samstag, 05.12.2020, 05:39 Uhr
Vier Tafeln mit Herleitungen und Formeln hat Dr. Guido Elsner voll geschrieben, um zu erklären, wie seine Rechnung funktioniert. Foto: Bernhard Pierel

Wenig repräsentative Versuche im Kollegenkreis ergeben, dass spontan zwei bis fünf Wege gefunden werden. Aber 88? Das scheint doch hoch gegriffen. Dr. Guido Elsner, Mathematiker an der Uni Bielefeld, rechnet allerdings vor, dass die Zahl stimmt.

Klar, mit der Aufgabe könnte man auch einen Computer füttern. Der Mathematiker aber hat Spaß am Knobeln und geht die Aufgabe strukturiert an. Dazu reduziert er das komplexe Problem in einem ersten Schritt. Das ist relativ leicht, denn das Haus des Nikolaus hat eine senkrechte Symmetrieachse. „Und wir Mathematiker lieben Symmetrien.“ Ihr Vorteil: Was nun für den Eckpunkt A links unten gilt, gilt auch für Eckpunkt B rechts unten. „Es genügt deshalb, die Möglichkeiten ausgehend von einem der beiden Punkte zu analysieren und das erzielte Ergebnis am Ende mit 2 zu multiplizieren.“

Drei Wege, zeigt Elsner, führen weg von B: einer entlang der Bodenkante, einer entlang der senkrechten Haus„wand“ und einmal diagonal durch das Haus nach links oben. Fährt man mit dem Zeichenstift entlang der Hauskante nach oben (zu Punkt C), hat man am Ende drei Optionen. Wobei, erklärt Elsner, die Wege von C in Richtung E oder über das Dach (via Punkt D) als gleichwertig zu betrachten sind, weil sie eben zum selben Ziel, nämlich E, führen. Von da aus kann man die linke Hauskante herunterfahren, die Diagonale zu Punkt B wählen oder – abhängig davon, wie man zu E gekommen ist, entlang der Dachunterkante oder über das Dach fahren (und von dort die zweite Diagonale Richtung A wählen).

Das klingt komplex, dabei haben wir nur den allerersten Schritt eines Weges von Eckpunkt B aus betrachtet. Um die Arbeit zu vereinfachen und die Gedanken formelhaft beschreiben zu können, nummeriert Elsner die Kanten von 1 bis 7 durch. Und er lässt in seiner Formel weg, was gleichwertig ist und setzt vor das Äquivalent den Faktor 2. Das verkürzt die Sache. Ein kleines a auf der linken Seite der Formel steht nun für die Anzahl aller möglichen Wege, a2 für die Wege startend an Punkt B nach oben zu C.

Das Exempel von eben also noch einmal: Von Punkt B nach oben geht der Weg entlang der Kante 2. An deren Ende weiter über die Diagonale 6, Kante 4 oder Dach 3. Also: Auf a2 kann folgen a26, a24 oder a23. Am Ende von a24 und a23, bei Punkt E, gibt es wieder drei Möglichkeiten des Abbiegens. Auf a24 etwa kann nun a243, a245 oder a247 folgen, also das Zeichnen der Kanten 3, 5 und 7.

Man hätte natürlich auch von Eckpunkt B zu Eckpunkt A, also entlang der Unterkante 1, starten können. Von A kann es dann über linke Hauswand oder die Diagonale weitergehen, was am Ende der beiden Kanten in der Konsequenz jeweils die nächsten drei weiteren Möglichkeiten bedeutet...

Um es kurz zu machen: Am Ende seiner Berechnungen führt Elsner das, was er reduziert, zerlegt und hergeleitet hat, wie ein systematisches Puzzle wieder zusammen. Das Ergebnis: a (Anzahl der Möglichkeiten) = 2 (12 + 2 mal 16) = 88. Tatsächlich so viele Wege!

Wer nun die Befassung mit dem Haus des Nikolaus für eine reine Spielerei hält, irrt: Es spielt tatsächlich auch in der mathematischen Lehre in der Graphentheorie eine Rolle als ein Beispiel für den so genannten Eulerschen Weg, benannt nach dem Mathematiker Leonhard Euler, der für sein Problem der Königsberger Brücken bekannt ist (eine dem Nikolaus-Haus vergleichbare Aufgabe).

Und wer womöglich die Lust am Knobeln entdeckt hat, findet täglich im Internet eine Aufgabe auf der Homepage www.mathe-im-advent. „Hier geht es aber nicht um das Rechnen wie im Matheunterricht, sondern um Knobeln und Denken“, sagt Guido Elsner. Das Projekt der Deutschen Mathematiker-Vereinigung gibt es alljährlich (und gab es als Denkfutter auch während des Lockdown im Frühjahr) und ist geeignet für Schüler ab Klasse 4. Die Aufgaben tragen Namen wie „Schneeschippen leicht gemacht“, „Griesgrämige Bergtrolle“ oder „Wunschzettel aus Japan“. „Es lohnt sich, reinzuklicken“, sagt Elsner.

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